Задача 57920

Темы:    [ Поворот на $90^\circ$ ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC проведены медиана CM и высота CH. Прямые, проведенные через произвольную точку P плоскости перпендикулярно CA, CM и CB, пересекают прямую CH в точках A₁, M₁ и B₁. Докажите, что A₁M₁ = B₁M₁.

Решение

При повороте на 90^o относительно точки P прямые PA₁, PB₁, PM₁ и CH переходят в прямые, параллельные CA, CB, CM и AB соответственно. Следовательно, при таком повороте треугольника PA₁B₁ отрезок PM₁ переходит в медиану (повернутого) треугольника.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	18
Название	Поворот
Тема	Поворот
параграф
Номер	1
Название	Поворот на 90 градусов
Тема	Поворот на $90^\circ$
задача
Номер	18.002