Задача 57921

Темы:    [ Поворот на $90^\circ$ ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Два квадрата BCDA и BKMN имеют общую вершину B. Докажите, что медиана BE треугольника ABK и высота BF треугольника CBN лежат на одной прямой. (Вершины обоих квадратов перечислены по часовой стрелке.)

Решение

Рассмотрим поворот на 90^o относительно точки B, переводящий вершину K в вершину N, а вершину C — в A. При этом повороте точка A переходит в некоторую точку A' точка E — в E'. Так как E' и B — середины сторон A'N и A'C треугольника A'NC, то BE'| NC. Но EBE' = 90^o, поэтому BE NC.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	18
Название	Поворот
Тема	Поворот
параграф
Номер	1
Название	Поворот на 90 градусов
Тема	Поворот на $90^\circ$
задача
Номер	18.003