|
|
 |
Условие
На сторонах CB и CD квадрата ABCD взяты точки M и K так, что периметр треугольника CMK равен удвоенной
стороне квадрата.
Найдите величину угла MAK.
Решение 1
Повернём треугольник ABM вокруг точки A на 90° так, чтобы
вершина B перешла в D. Пусть M' – образ точки M при этом повороте. Так как по условию
MK + MC + CK = (BM + MC) + (CK + KD), то MK = BM + KD = KM'. Кроме того, AM = AM', поэтому треугольники AMK и AM'K равны, а значит,
∠MAK = ∠M'AK = ½ ∠MAM' = 45°.
Решение 2
Рассмотрим вневписанную окружность треугольника CMK, касающуюся снаружи стороны MK в точке P. Как известно, она касается продолжений сторон CM и CK в точках, отстоящих от вершины C на полупериметр, то есть в точках B и D. Значит, A – её центр, поэтому
∠MAP = ∠MAB, ∠KAP = ∠KAD и
∠MAK = ½ ∠BAD.
Замечания
1. 4 балла.
2. Ср. с задачей М851 из Задачника "Кванта".
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Прасолов В.В. |
| Год издания | 2001 |
| Название | Задачи по планиметрии |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 4* |
| глава | |
| Номер | 18 |
| Название | Поворот |
| Тема | Поворот |
| параграф | |
| Номер | 1 |
| Название | Поворот на 90 градусов |
| Тема | Поворот на $90^\circ$ |
| задача | |
| Номер | 18.005 |
| олимпиада | |
| Название | Турнир городов |
| Турнир | |
| Дата | 1983/1984 |
| Номер | 5 |
| вариант | |
| Вариант | осенний тур, 9-10 класс |
| Задача | |
| Номер | 1 |
