ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57923
Темы:    [ Поворот на $90^\circ$ ]
[ Поворот помогает решить задачу ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На сторонах CB и CD квадрата ABCD взяты точки M и K так, что периметр треугольника CMK равен удвоенной стороне квадрата.
Найдите величину угла MAK.


Решение 1

Повернём треугольник ABM вокруг точки A на 90° так, чтобы вершина B перешла в D. Пусть M' – образ точки M при этом повороте. Так как по условию
MK + MC + CK = (BM + MC) + (CK + KD),  то  MK = BM + KD = KM'.  Кроме того,  AM = AM',  поэтому треугольники AMK и AM'K равны,  а значит,
MAK = ∠M'AK = ½ ∠MAM' = 45°.


Решение 2

Рассмотрим вневписанную окружность треугольника CMK, касающуюся снаружи стороны MK в точке P. Как известно, она касается продолжений сторон CM и CK в точках, отстоящих от вершины C на полупериметр, то есть в точках B и D. Значит, A – её центр, поэтому  ∠MAP = ∠MAB,  ∠KAP = ∠KAD  и
MAK = ½ ∠BAD.

Замечания

1. 4 балла.

2. Ср. с задачей М851 из Задачника "Кванта".

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 18
Название Поворот
Тема Поворот
параграф
Номер 1
Название Поворот на 90 градусов
Тема Поворот на $90^\circ$
задача
Номер 18.005
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1983/1984
Номер 5
вариант
Вариант осенний тур, 9-10 класс
Задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .