Задача 57924

Темы:    [ Поворот на $90^\circ$ ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

На плоскости даны три (одинаково ориентированных) квадрата: ABCD, AB₁C₁D₁ и  A₂B₂CD₂; первый квадрат имеет с двумя другими общие вершины A и C. Докажите, что медиана BM треугольника BB₁B₂ перпендикулярна отрезку D₁D₂.

Решение

Пусть R — поворот на 90^o, переводящий вектор в  . Пусть, далее, = a, = b и  = c. Тогда = Ra, = Rb и  = Rc. Поэтому = Rb - a + Ra + Rc и  2 = a + b + Ra + c. Следовательно, R(2) = , так как R(Ra) = - a.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	18
Название	Поворот
Тема	Поворот
параграф
Номер	1
Название	Поворот на 90 градусов
Тема	Поворот на $90^\circ$
задача
Номер	18.006