Задача 57925

Темы:    [ Поворот на $90^\circ$ ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

Дан треугольник ABC. На его сторонах AB и BC построены внешним образом квадраты ABMN и BCPQ. Докажите, что центры этих квадратов и середины отрезков MQ и AC образуют квадрат.

Решение

Введем следующие обозначения: a = , b = ; Ra и  Rb — векторы, полученные из векторов  a и  b поворотом на 90^o: Ra = , Rb = ; O₁, O₂, O₃ и O₄ — середины отрезков AM, MQ, QC и CA соответственно. Тогда = (a + Ra)/2, = (a + Rb)/2, = (b + Rb)/2, = (b + Ra)/2. Поэтому = (Rb - Ra)/2 = - и  = (b - a)/2 = - . Кроме того, = R().

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	18
Название	Поворот
Тема	Поворот
параграф
Номер	1
Название	Поворот на 90 градусов
Тема	Поворот на $90^\circ$
задача
Номер	18.007