Информация о задаче

Задача 57925

Темы:	[	Поворот на $90^\circ$	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник ABC. На его сторонах AB и BC построены внешним образом квадраты ABMN и BCPQ. Докажите, что центры этих квадратов и середины отрезков MQ и AC образуют квадрат.

Решение

Введем следующие обозначения: a = $\overrightarrow{BM}$ , b = $\overrightarrow{BC}$ ; Ra и Rb — векторы, полученные из векторов a и b поворотом на 90^o: Ra = $\overrightarrow{BA}$ , Rb = $\overrightarrow{BQ}$ ; O₁, O₂, O₃ и O₄ — середины отрезков AM, MQ, QC и CA соответственно. Тогда $\overrightarrow{BO_1}$ = (a + Ra)/2, $\overrightarrow{BO_2}$ = (a + Rb)/2, $\overrightarrow{BO_3}$ = (b + Rb)/2, $\overrightarrow{BO_4}$ = (b + Ra)/2. Поэтому $\overrightarrow{O_1O_2}$ = (Rb - Ra)/2 = - $\overrightarrow{O_3O_4}$ и $\overrightarrow{O_2O_3}$ = (b - a)/2 = - $\overrightarrow{O_4O_1}$ . Кроме того, $\overrightarrow{O_1O_2}$ = R( $\overrightarrow{O_2O_3}$ ).

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	18
Название	Поворот
Тема	Поворот
параграф
Номер	1
Название	Поворот на 90 градусов
Тема	Поворот на $90^\circ$
задача
Номер	18.007