Существует ли ломаная, пересекающая все рёбра картинки по одному разу?

   Решение

Треугольник A₁B₁C₁ получен из треугольника ABC поворотом на угол  ( < 180^o) вокруг центра его описанной окружности. Докажите, что точки пересечения сторон AB и A₁B₁, BC и B₁C₁, CA и C₁A₁ (или их продолжений) являются вершинами треугольника, подобного треугольнику ABC.

   Решение

Шестиугольник ABCDEF правильный, K и M — середины отрезков BD и EF. Докажите, что треугольник AMK правильный.

   Решение

Тема:    [ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ]

Сложность: 4 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Шестиугольник ABCDEF правильный, K и M — середины отрезков BD и EF. Докажите, что треугольник AMK правильный.

Решение

Пусть O — центр шестиугольника. Рассмотрим поворот с центром A на 60^o, переводящий точку B в O. При этом повороте отрезок OC переходит в отрезок FE. Точка K является серединой диагонали BD параллелограмма BCDO, поэтому она является серединой диагонали CO. Следовательно, точка K при нашем повороте переходит в точку M, т. е. треугольник AMK правильный.

Источники и прецеденты использования