Задача 57940

Тема:    [ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ]

Сложность: 4+ Классы: 9

Условие

а) Для данного треугольника ABC, все углы которого меньше  120^o, найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин минимальна.
б) Внутри треугольника ABC, все углы которого меньше  120^o, взята точка O, из которой его стороны видны под углом  120^o. Докажите, что сумма расстояний от точки O до вершин равна (a² + b² + c²)/2 + 2S.

Решение

а) Пусть O — произвольная точка. При повороте на 60^o относительно точки A точки B, C и O переходят в некоторые точки B', C' и O' (рис.). Так как AO = OO' и OC = O'C', то BO + AO + CO = BO + OO' + O'C'. Длина ломаной BOO'C' минимальна тогда, когда эта ломаная является отрезком, т. е. AOB = AO'C' = AOC = 120^o. Для построения искомой точки можно воспользоваться результатом задачи 2.8. Требуемая точка внутри треугольника ABC существует тогда и только тогда, когда все его углы меньше 120^o. Если один из углов равен 120^o, то требуемая точка — вершина этого угла.
Замечание. По поводу случая, когда у треугольника есть угол больше 120^o, см. задачу 18.29B.
б) Сумма расстояний от точки O до вершин равна длине отрезка BC', полученного при решении задачи а). Ясно также, что (BC')² = b² + c² - 2bc cos( + 60^o) = b² + c² - bc cos + bcsin = (a² + b² + c²)/2 + 2S.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	18
Название	Поворот
Тема	Поворот
параграф
Номер	2
Название	Поворот на 60 градусов
Тема	Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$
задача
Номер	18.021