Дана бесконечная последовательность чисел  a₁, a₂, a₃, ...  Известно, что для любого номера k можно указать такое натуральное число t, что
a_k = a_k+t = a_k+2t = ...  Обязательно ли тогда эта последовательность периодическая, то есть существует ли такое натуральное T, что  a_k = a_k+T  при любом натуральном k?

   Решение

Тема:    [ Поворот (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

По двум прямым, пересекающимся в точке P, равномерно с одинаковой скоростью движутся две точки: по одной прямой — точка A, по другой — точка B. Через точку P они проходят не одновременно. Докажите, что в любой момент времени описанная окружность треугольника ABP проходит через некоторую фиксированную точку, отличную от P.

Решение

Пусть O — центр поворота R, переводящего отрезок A(t₁)A(t₂) в отрезок B(t₁)B(t₂), где t₁ и t₂ — некоторые моменты времени. Тогда этот поворот переводит A(t) в B(t) в любой момент времени t. Поэтому, согласно задаче 18.25, точка O лежит на описанной окружности треугольника APB.

Источники и прецеденты использования