Информация о задаче

Задача 58103

Темы:	[	Принцип Дирихле (площадь и объем)	]
	[	Упаковки	]
	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Назовем крестом фигуру, образованную диагоналями квадрата со стороной 1 (рис.). Докажите, что в круге радиуса 100 можно разместить лишь конечное число непересекающихся крестов.

Решение

Для каждого креста рассмотрим круг радиусом 1/2 $\sqrt{2}$ с центром в центре креста. Докажем, что если пересекаются два таких круга, то пересекаются и сами кресты. Расстояние между центрами пересекающихся равных кругов не превосходит их удвоенного радиуса, поэтому расстояние между центрами соответствующих им крестов не превосходит 1/ $\sqrt{2}$ . Рассмотрим прямоугольник. заданный перекладинами первого креста и центром второго (рис.). Одна из перекладин второго креста проходит через этот прямоугольник, поэтому она пересекает первый крест, так как длина перекладины равна 1/ $\sqrt{2}$ , а длина диагонали прямоугольника не превосходит 1/ $\sqrt{2}$ . В круге конечного радиуса можно разместить лишь конечное число непересекающихся кругов радиуса 1/2 $\sqrt{2}$ .

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	21
Название	Принцип Дирихле
Тема	Принцип Дирихле
параграф
Номер	3
Название	Площадь
Тема	Принцип Дирихле (площадь и объем)
задача
Номер	21.024