Условие
На отрезке длиной 1 расположены попарно не пересекающиеся
отрезки, сумма длин которых равна p. Обозначим эту систему
отрезков A. Пусть B — дополнительная система отрезков
(отрезки систем A и B не имеют общих внутренних точек и
полностью покрывают данный отрезок). Докажите, что существует
параллельный перенос T, для которого пересечение B и T(A)
состоит из отрезков, сумма длин которых не меньше p(1 - p)/2.
Решение
Пусть
-1
c1. Сдвинем данный отрезок на c вдоль себя,
а затем сдвинем его на c в ортогональном направлении.
Заштрихованная на рис. область
соответствует пересечению
отрезков Ai и Bj. Ее площадь равна произведению длин этих
отрезков. Если рассмотреть все пары отрезков систем A и B,
то заштрихованная область будет иметь площадь p(1 - p). Поэтому
некоторое горизонтальное сечение заштрихованных областей имеет
длину не меньше p(1 - p)/2.
Замечание.
Если вместо отрезка рассматривать окружность (и вместо
параллельного переноса поворот), то p(1 - p)/2 можно заменить на
p(1 - p).
Источники и прецеденты использования
