Условие
На отрезке длиной 1 расположены попарно не пересекающиеся
отрезки, сумма длин которых равна
p. Обозначим эту систему
отрезков
A. Пусть
B — дополнительная система отрезков
(отрезки систем
A и
B не имеют общих внутренних точек и
полностью покрывают данный отрезок). Докажите, что существует
параллельный перенос
T, для которого пересечение
B и
T(
A)
состоит из отрезков, сумма длин которых не меньше
p(1 -
p)/2.
Решение
Пусть
-1
c1. Сдвинем данный отрезок на
c вдоль себя,
а затем сдвинем его на
c в ортогональном направлении.
Заштрихованная на рис. область
соответствует пересечению
отрезков
Ai и
Bj. Ее площадь равна произведению длин этих
отрезков. Если рассмотреть все пары отрезков систем
A и
B,
то заштрихованная область будет иметь площадь
p(1 -
p). Поэтому
некоторое горизонтальное сечение заштрихованных областей имеет
длину не меньше
p(1 -
p)/2.
Замечание.
Если вместо отрезка рассматривать окружность (и вместо
параллельного переноса поворот), то
p(1 -
p)/2 можно заменить на
p(1 -
p).
Источники и прецеденты использования