Докажите, что треугольники abc и a'b'c' собственно подобны, тогда и только тогда, когда

   Решение

Докажите, что барицентрические координаты точки X, лежащей внутри треугольника ABC, равны (S_BCX : S_CAX : S_ABX).

   Решение

Вадим и Лёша спускались с горы. Вадим шёл пешком, а Лёша съезжал на лыжах в семь раз быстрее Вадима. На полпути Лёша упал, сломал лыжи и ногу и пошёл в два раза медленней Вадима. Кто первым спустится с горы?

   Решение

Найти все рациональные положительные решения уравнения  x^y = y^x  (x ≠ y).

   Решение

Имеется неограниченное количество плиток в форме многоугольника M. Будем говорить, что из этих плиток можно сложить паркет, если ими можно покрыть круг сколь угодно большого радиуса так, чтобы не было ни просветов, ни перекрытий.
а) Докажите, что если M — выпуклый n-угольник, где n7, то паркет сложить нельзя.
б) Приведите пример такого выпуклого пятиугольника с попарно непараллельными сторонами, что паркет сложить можно.

   Решение

Тема:    [ Замощения костями домино и плитками ]

Сложность: 6+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Имеется неограниченное количество плиток в форме многоугольника M. Будем говорить, что из этих плиток можно сложить паркет, если ими можно покрыть круг сколь угодно большого радиуса так, чтобы не было ни просветов, ни перекрытий.
а) Докажите, что если M — выпуклый n-угольник, где n7, то паркет сложить нельзя.
б) Приведите пример такого выпуклого пятиугольника с попарно непараллельными сторонами, что паркет сложить можно.

Решение

а) Предположим, что круг K радиуса R покрыт паркетом, состоящим из одинаковых выпуклых n-угольников. Рассмотрим все точки, лежащие внутри круга K и являющиеся вершинами n-угольников. Эти точки бывают двух типов: точки 1-го типа лежат на сторонах других n-угольников и сумма углов, сходящихся в них, равна 180^o; в точках 2-го типа сходятся углы, сумма которых равна 360^o. Пусть p и q — количества точек 1-го и 2-го типа соответственно. В каждой точке 1-го типа сходится не менее двух углов n-угольников, а в каждой точке 2-го типа — не менее трех углов. Поэтому, 2p + 3q2nL₁, где L₁ — количество n-угольников, пересекающихся с K. Суммы углов, сходящихся в точках 1-го и 2-го типа равны 180^o и 360^o соответственно. Поэтому p + 2q(n - 2)L₂, где L₂ — количество n-угольников, лежащих внутри K. Сложив неравенства 4p + 6q4nL₁ и -3p - 6q6L₂ - 3nL₂, получим p6L₂ - n(4L₁ - 3L₂), т. е. p/L₂6 - n(4L₁/L₂ - 3). Так как L₁/L₂ = 1, то p/L₂ = 6 - n. Значит, если из данных выпуклых n-угольников можно сложить паркет, то 6 - n 0, т. е. n6.
б) См. рис.

Источники и прецеденты использования