Собралось n человек. Некоторые из них знакомы между собой, причём каждые два незнакомых имеют ровно двух общих знакомых, а каждые два знакомых не имеют общих знакомых. Доказать, что каждый из присутствующих знаком с одинаковым числом человек.

   Решение

Докажите, что нетождественное проективное преобразование прямой имеет не более двух неподвижных точек.

   Решение

Докажите, что касающиеся окружности (окружность и прямая) переходят при инверсии в касающиеся окружности или в окружность и прямую, или в пару параллельных прямых.

   Решение

Темы:    [ Свойства инверсии ] [ Касающиеся окружности ] [ Признаки и свойства касательной ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что касающиеся окружности (окружность и прямая) переходят при инверсии в касающиеся окружности или в окружность и прямую, или в пару параллельных прямых.

Решение

Если точка касания не совпадает с центром инверсии, то после инверсии эти окружности (окружность и прямая) будут по-прежнему иметь одну общую точку, т. е. касание сохранится.
Если окружности с центрами A и B касаются в точке O, то при инверсии с центром O они перейдут в пару прямых, перпендикулярных AB. Наконец, если прямая l касается в точке O окружности с центром A, то при инверсии с центром O прямая l переходит в себя, а окружность — в прямую, перпендикулярную OA. В каждом из этих случаев получаем пару параллельных прямых.

Источники и прецеденты использования