Когда "послезавтра" станет "вчера", то "сегодня" будет так же далеко от воскресенья, как тот день, который был "сегодня", когда "вчера" было "завтра". Как вы думаете, какой сегодня день недели?

   Решение

Темы:    [ Точки, лежащие на одной окружности, и окружности, проходящие через одну точку ] [ Инверсия помогает решить задачу ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Пятиугольники ]

Сложность: 6 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Стороны выпуклого пятиугольника ABCDE продолжили так, что образовалась пятиконечная звезда AHBKCLDMEN (рис.). Около треугольников — лучей звезды описали окружности. Докажите, что пять точек пересечения этих окружностей, отличных от A, B, C, D, E, лежат на одной окружности.

Решение

Пусть P, Q, R, S, T — точки пересечения окружностей S₁, S₂, S₃, S₄, S₅, о которых говорится в условии (см. рис.). Докажем, например, что точки P, Q, R, S лежат на одной окружности. Проведем окружность , описанную около треугольника NKD. Применяя результат задачи 2.83, а) (совпадающей с 19.45) к четырехугольникам AKDE и BNDC, получаем, что окружности S₄, S₅ и  пересекаются в одной точке (в точке P) и окружности S₂, S₃, тоже пересекаются в одной точке (в точке S). Следовательно, окружность  проходит через точки P и S. Заметим теперь, что из восьми точек пересечения окружностей , S₁, S₂, S₅ четыре, а именно N, A, B, K лежат на одной прямой. Следовательно, согласно задаче 28.31 оставшиеся четыре точки P, Q, R, S лежат на одной окружности.

Источники и прецеденты использования