Условие
Каждая из шести окружностей касается четырех
из оставшихся пяти (рис.). Докажите, что для любой
пары несоприкасающихся окружностей (из этих шести) их
радиусы и расстояние между центрами связаны соотношением
d2 = r12 + r22±6r1r2 (к плюск — если окружности не
лежат одна внутри другой, к минуск — в противном случае).
Решение
Пусть R1 и R2 — какая-либо пара несоприкасающихся
окружностей. Оставшиеся четыре окружности образуют цепочку,
поэтому по предыдущей задаче окружности S' и S'', касающиеся R1
и R2 в точках их пересечения с линией центров, пересекаются под
прямым углом (рис.). Если R2 лежит внутри R1, то радиусы r'
и r'' окружностей S' и S'' равны
(r1 + r2 + d )/2 и
(r1 + r2 - d )/2, а расстояние между их центрами
d' = 2r1 - r1 - r2 = r1 - r2. Угол между S' и S'' равен углу между их радиусами,
проведенными в точку пересечения, поэтому
(d')2 = (r')2 + (r'')2 или,
после преобразований,
d2 = r12 + r22 - 6r1r2.
В случае, когда R1 и R2 не лежат одна внутри другой, радиусы
окружностей S' и S'' равны
(d + (r1 - r2))/2 и
(d - (r1 - r2))/2,
а расстояние между центрами
d' = r1 + r2 + d - (r1' + r2') = r1 + r2.
В результате получаем
d2 = r12 + r22 + 6r1r2.
Источники и прецеденты использования
