ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58359
Темы:    [ Цепочки окружностей. Теорема Фейербаха ]
[ Радиусы окружностей ]
[ Инверсия помогает решить задачу ]
[ Касающиеся окружности ]
Сложность: 7+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Каждая из шести окружностей касается четырех из оставшихся пяти (рис.). Докажите, что для любой пары несоприкасающихся окружностей (из этих шести) их радиусы и расстояние между центрами связаны соотношением d2 = r12 + r22±6r1r2 (к плюск — если окружности не лежат одна внутри другой, к минуск — в противном случае).



Решение

Пусть R1 и R2 — какая-либо пара несоприкасающихся окружностей. Оставшиеся четыре окружности образуют цепочку, поэтому по предыдущей задаче окружности S' и S'', касающиеся R1 и R2 в точках их пересечения с линией центров, пересекаются под прямым углом (рис.). Если R2 лежит внутри R1, то радиусы r' и r'' окружностей S' и S'' равны (r1 + r2 + d )/2 и  (r1 + r2 - d )/2, а расстояние между их центрами d' = 2r1 - r1 - r2 = r1 - r2. Угол между S' и S'' равен углу между их радиусами, проведенными в точку пересечения, поэтому (d')2 = (r')2 + (r'')2 или, после преобразований, d2 = r12 + r22 - 6r1r2.
В случае, когда R1 и R2 не лежат одна внутри другой, радиусы окружностей S' и S'' равны (d + (r1 - r2))/2 и  (d - (r1 - r2))/2, а расстояние между центрами d' = r1 + r2 + d - (r1' + r2') = r1 + r2. В результате получаем d2 = r12 + r22 + 6r1r2.


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 28
Название Инверсия
Тема Инверсия
параграф
Номер 6
Название Цепочки окружностей
Тема Цепочки окружностей. Теорема Фейербаха
задача
Номер 28.040

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .