Условие
Каждая из шести окружностей касается четырех
из оставшихся пяти (рис.). Докажите, что для любой
пары несоприкасающихся окружностей (из этих шести) их
радиусы и расстояние между центрами связаны соотношением
d2 =
r12 +
r22±6
r1r2 (к плюск — если окружности не
лежат одна внутри другой, к минуск — в противном случае).
Решение
Пусть
R1 и
R2 — какая-либо пара несоприкасающихся
окружностей. Оставшиеся четыре окружности образуют цепочку,
поэтому по предыдущей задаче окружности
S' и
S'', касающиеся
R1
и
R2 в точках их пересечения с линией центров, пересекаются под
прямым углом (рис.). Если
R2 лежит внутри
R1, то радиусы
r'
и
r'' окружностей
S' и
S'' равны
(
r1 +
r2 +
d )/2 и
(
r1 +
r2 -
d )/2, а расстояние между их центрами
d' = 2
r1 -
r1 -
r2 =
r1 -
r2. Угол между
S' и
S'' равен углу между их радиусами,
проведенными в точку пересечения, поэтому
(
d')
2 = (
r')
2 + (
r'')
2 или,
после преобразований,
d2 =
r12 +
r22 - 6
r1r2.
В случае, когда
R1 и
R2 не лежат одна внутри другой, радиусы
окружностей
S' и
S'' равны
(
d + (
r1 -
r2))/2 и
(
d - (
r1 -
r2))/2,
а расстояние между центрами
d' =
r1 +
r2 +
d - (
r1' +
r2') =
r1 +
r2.
В результате получаем
d2 =
r12 +
r22 + 6
r1r2.
Источники и прецеденты использования
