Задача 58388

Тема:    [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

Условие

Пусть a и b — комплексные числа, лежащие на окружности с центром в нуле, u — точка пересечения касательных к этой окружности в точках a и b. Докажите, что u = 2ab/(a + b).

Решение

Пусть v = (a + b)/2 — середина отрезка ab. Тогда прямоугольные треугольники 0au и 0vb собственно подобны, поскольку имеют равные углы в вершине 0. Поэтому согласно задаче 29.21 a/u = v/b. Значит, u = ab/v = 2ab/(a + b).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	29
Название	Аффинные преобразования
Тема	Аффинная геометрия
параграф
Номер	3
Название	Комплексные числа
Тема	Связь величины угла с длиной дуги и хорды
задача
Номер	29.022.1