Задача 58389

Тема:    [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

Условие

Пусть a — комплексное число, лежащее на единичной окружности S с центром в нуле, t — вещественное число (точка, лежащая на вещественной оси). Пусть, далее, b — отличная от a точка пересечения прямой at с окружностью S. Докажите, что = (1 - ta)(t - a).

Решение

Прямоугольные треугольники, образованные соответственно точками 0, ( + )/2, t и 0, (a + )/2, t, собственно подобны. Согласно задаче 29.21

= = ,

т. е. t - 1 + (t - a) = t - ta (здесь мы воспользовались равенством a = | a|² = 1). Значит, = (1 - ta)/(t - a).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	29
Название	Аффинные преобразования
Тема	Аффинная геометрия
параграф
Номер	3
Название	Комплексные числа
Тема	Связь величины угла с длиной дуги и хорды
задача
Номер	29.023