Задача 58400

Тема:    [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]

Сложность: 6+ Классы: 9,10

Условие

а) Даны точка X и треугольник ABC. Докажите, что

^. + ^. + ^. 1,

где a, b, c — длины сторон треугольника.
б) На сторонах BC, CA, AB взяты точки A₁, B₁, C₁. Пусть a, b, c — длины сторон треугольника ABC, a₁, b₁, c₁ — длины сторон треугольника A₁B₁C₁, S — площадь треугольника ABC. Докажите, что

4S²a²b₁c₁ + b²a₁c₁ + c²a₁b₁.

Решение

а) Расположим треугольник ABC на комплексной плоскости так, чтобы точка X совпала с нулем. Пусть , ,  — комплексные числа, соответствующие вершинам треугольника. Требуемое неравенство следует из тождества

^. + ^. + ^. = 1.

б) Описанные окружности треугольников AB₁C₁, A₁BC₁ и A₁B₁C пересекаются в некоторой точке X (задача 2.80, а)). Пусть R_a, R_b, R_c -- радиусы этих окружностей, R — радиус описанной окружности треугольника ABC. Тогда

Ясно, что 2R_aXA, 2R_bXB, 2R_cXC. Поэтому

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	29
Название	Аффинные преобразования
Тема	Аффинная геометрия
параграф
Номер	3
Название	Комплексные числа
Тема	Связь величины угла с длиной дуги и хорды
задача
Номер	29.030