ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58400
Тема:    [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]
Сложность: 6+
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) Даны точка X и треугольник ABC. Докажите, что

$\displaystyle {\frac{XB}{b}}$ . $\displaystyle {\frac{XC}{c}}$ + $\displaystyle {\frac{XC}{c}}$ . $\displaystyle {\frac{XA}{a}}$ + $\displaystyle {\frac{XA}{a}}$ . $\displaystyle {\frac{XB}{b}}$$\displaystyle \ge$1,

где a, b, c — длины сторон треугольника.
б) На сторонах BC, CA, AB взяты точки A1, B1, C1. Пусть a, b, c — длины сторон треугольника ABC, a1, b1, c1 — длины сторон треугольника A1B1C1, S — площадь треугольника ABC. Докажите, что

4S2$\displaystyle \le$a2b1c1 + b2a1c1 + c2a1b1.



Решение

а) Расположим треугольник ABC на комплексной плоскости так, чтобы точка X совпала с нулем. Пусть $ \alpha$, $ \beta$, $ \gamma$ — комплексные числа, соответствующие вершинам треугольника. Требуемое неравенство следует из тождества

$\displaystyle {\frac{\beta}{\alpha-\gamma}}$ . $\displaystyle {\frac{\gamma}{\alpha-\beta}}$ + $\displaystyle {\frac{\gamma}{\alpha-\beta}}$ . $\displaystyle {\frac{\alpha}{\beta-\gamma}}$ + $\displaystyle {\frac{\alpha}{\gamma-\beta}}$ . $\displaystyle {\frac{\beta}{\gamma-\alpha}}$ = 1.


б) Описанные окружности треугольников AB1C1, A1BC1 и A1B1C пересекаются в некоторой точке X (задача 2.80, а)). Пусть Ra, Rb, Rc -- радиусы этих окружностей, R — радиус описанной окружности треугольника ABC. Тогда

\begin{multline*}
a^2b_1c_1+b^2a_1c_1+c^2a_1b_1=
8R\sin A\sin B\sin C(aR_bR_c+bR_cR_b+cR_aR_b)=\\
= \frac{4S}{R}(aR_bR_c+bR_cR_b+cR_aR_b).
\end{multline*}

Ясно, что 2Ra$ \ge$XA, 2Rb$ \ge$XB, 2Rc$ \ge$XC. Поэтому

\begin{multline*}
\frac{4S}{R}(aR_bR_c+bR_cR_b+cR_aR_b) \ge \\ \ge
\frac{abcS}...
...
\frac{XA}{a}\cdot\frac{XB}{b}\right)\ge
\frac{abcS}{R}=4S^2.
\end{multline*}


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 29
Название Аффинные преобразования
Тема Аффинная геометрия
параграф
Номер 3
Название Комплексные числа
Тема Связь величины угла с длиной дуги и хорды
задача
Номер 29.030

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .