Задача 58401

Тема:    [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]

Сложность: 6+ Классы: 9,10

Условие

Дан не равносторонний треугольник ABC. Точки A₁, B₁ и C₁ выбраны так, что треугольники BA₁C, CB₁A и AC₁B собственно подобны. Докажите, что треугольник A₁B₁C₁ равносторонний тогда и только тогда, когда указанные подобные треугольники являются равнобедренными треугольниками с углом 120^o при вершинах A₁, B₁ и C₁.

Решение

Пусть точки A, B, C, A₁, B₁ и C₁ соответствуют комплексным числам a, b, c, a₁, b₁ и c₁. Из того, что треугольники BA₁C, CB₁A и AC₁B собственно подобны, следует, что a₁ = b + (c - b)z, b₁ = c + (a - c)z и c₁ = a + (b - a)z для некоторого комплексного числа z. Поэтому

a₁² + b₁² + c₁² - a₁b₁ - b₁c₁ - a₁c₁ = (a² + b² + c² - ab - bc - ac)(3z² - 3z + 1).

Согласно задаче 29.26B б) треугольник A₁B₁C₁ равносторонний тогда и только тогда, когда выражение в левой части этого равенства обращается в нуль. Треугольник ABC не равносторонний, поэтому обращаться в нуль должно выражение 3z² - 3z + 1. Для равнобедренного треугольника с углом 120^o имеем z₀ = ±. Легко проверить, что z₀² - z₀ = - . (Разные знаки в выражении для z₀ соответствуют треугольникам, построенным на сторонах треугольника внешним и внутренним образом.)

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	29
Название	Аффинные преобразования
Тема	Аффинная геометрия
параграф
Номер	3
Название	Комплексные числа
Тема	Связь величины угла с длиной дуги и хорды
задача
Номер	29.032B-