ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58401
Тема:    [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]
Сложность: 6+
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан не равносторонний треугольник ABC. Точки A1, B1 и C1 выбраны так, что треугольники BA1C, CB1A и AC1B собственно подобны. Докажите, что треугольник A1B1C1 равносторонний тогда и только тогда, когда указанные подобные треугольники являются равнобедренными треугольниками с углом 120o при вершинах A1, B1 и C1.

Решение

Пусть точки A, B, C, A1, B1 и C1 соответствуют комплексным числам a, b, c, a1, b1 и c1. Из того, что треугольники BA1C, CB1A и AC1B собственно подобны, следует, что a1 = b + (c - b)z, b1 = c + (a - c)z и c1 = a + (b - a)z для некоторого комплексного числа z. Поэтому

a12 + b12 + c12 - a1b1 - b1c1 - a1c1 = (a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac)(3z2 - 3z + 1).

Согласно задаче 29.26B б) треугольник A1B1C1 равносторонний тогда и только тогда, когда выражение в левой части этого равенства обращается в нуль. Треугольник ABC не равносторонний, поэтому обращаться в нуль должно выражение 3z2 - 3z + 1. Для равнобедренного треугольника с углом 120o имеем z0 = $ {\frac{1}{2}}$±$ {\frac{i}{2\sqrt3}}$. Легко проверить, что z02 - z0 = - $ {\frac{1}{3}}$. (Разные знаки в выражении для z0 соответствуют треугольникам, построенным на сторонах треугольника внешним и внутренним образом.)


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 29
Название Аффинные преобразования
Тема Аффинная геометрия
параграф
Номер 3
Название Комплексные числа
Тема Связь величины угла с длиной дуги и хорды
задача
Номер 29.032B-

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .