ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58404
Тема:    [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]
Сложность: 7
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Вершины треугольника соответствуют комплексным числам a, b и c, лежащим на единичной окружности с центром в нуле. Докажите, что если точки z и w изогонально сопряжены, то z + w + abc$ \bar{z}$$ \bar{w}$ = a + b + c (Морли).

Решение

Согласно задаче 29.20

$\displaystyle \Im$(a - z)(a - w)($\displaystyle \bar{a}$ - $\displaystyle \bar{b}$)($\displaystyle \bar{a}$ - $\displaystyle \bar{c}$) = 0.

Обозначим ($ \bar{a}$ - $ \bar{b}$)($ \bar{a}$ - $ \bar{c}$), ($ \bar{b}$ - $ \bar{a}$)($ \bar{b}$ - $ \bar{c}$) и ($ \bar{c}$ - $ \bar{a}$)($ \bar{c}$ - $ \bar{b}$) через A, B и C соответственно. Тогда

$\displaystyle \Im$a2A - $\displaystyle \Im$aA(z + w) + $\displaystyle \Im$Azw = 0.1)


Заметим, что a(b + c)A — вещественное число. Действительно,

a(b + c)A = 2$\displaystyle \Re$$\displaystyle \bigl($$\displaystyle \bar{a}$(b + c)$\displaystyle \bigr)$ - | a(b + c)|2

(чтобы проверить это равенство, нужно воспользоваться тем, что $ \Re$$ \zeta$ = ($ \zeta$ + $ \bar{\zeta}$)/2, и тем, что a$ \bar{a}$ = b$ \bar{b}$ = c$ \bar{c}$ = 1, поскольку точки a, b, c лежат на единичной окружности). Таким образом,

$\displaystyle \Im$a2A = $\displaystyle \Im$$\displaystyle \bigl($(a + b + c)aA$\displaystyle \bigr)$ - $\displaystyle \Im$$\displaystyle \bigl($a(b + c)A$\displaystyle \bigr)$ = $\displaystyle \Im$$\displaystyle \bigl($aA(a + b + c)$\displaystyle \bigr)$.

Далее,

abc . aA = ab($\displaystyle \bar{a}$ - $\displaystyle \bar{b}$) . ac($\displaystyle \bar{a}$ - $\displaystyle \bar{c}$) = (a - b)(a - c) = $\displaystyle \bar{A}$.

Следовательно,

$\displaystyle \Im$Azw = - $\displaystyle \Im$$\displaystyle \overline{Azw}$ = - $\displaystyle \Im$aA . abc . $\displaystyle \bar{z}$$\displaystyle \bar{w}$.

Подставляя эти равенства в (1), получаем

$\displaystyle \Im$aA[a + b + c - (z + w) - abc . $\displaystyle \bar{z}$$\displaystyle \bar{w}$] = $\displaystyle \Im$aAp = 0

(через p обозначено выражение в квадратных скобках).
Аналогично доказывается, что $ \Im$bBp = $ \Im$cCp = 0. Таким образом, либо p = 0 и тогда утверждение задачи доказано, либо числа aA, bB и cC пропорциональны с вещественным коэффициентом пропорциональности. Но второй случай невозможен, так как иначе число

$\displaystyle {\frac{aA}{bB}}$ = $\displaystyle {\frac{a}{b}}$ . $\displaystyle {\frac{\bar a-\bar c}{\bar c-\bar b}}$

было бы вещественным, т. е. $ \angle$bOa = $ \angle$acc1 = $ \pi$n (углы ориентированные: рис.). Однако $ \angle$acc1 = $ \pi$ - $ \angle$c и $ \angle$bOa = 2$ \angle$c по теореме о вписанном угле, поэтому $ \angle$c = $ \pi$(n - 1), чего не может быть.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 29
Название Аффинные преобразования
Тема Аффинная геометрия
параграф
Номер 3
Название Комплексные числа
Тема Связь величины угла с длиной дуги и хорды
задача
Номер 29.032.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .