ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58405
Тема:    [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]
Сложность: 7
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Точки Z и W изогонально сопряжены относительно правильного треугольника. При инверсии относительно описанной окружности точки Z и W переходят в Z* и W*. Докажите, что середина отрезка Z*W* лежит на вписанной окружности.

Решение

Расположим данный правильный треугольник на комплексной плоскости так, чтобы центр его описанной окружности оказался в нуле и радиус описанной окружности был равен 1. Пусть z и w — комплексные числа, соответствующие точкам Z и W. Согласно задаче 29.32.1 z + w + $ \bar{z}$$ \bar{w}$ = 0, т. е. $ \bar{z}$ + $ \bar{w}$ = - zw. Ясно, что z* = - 1/$ \bar{z}$ и w* = - 1/$ \bar{w}$. Следовательно,

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$(z* + w*) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{\bar z}+\frac{1}{\bar w}}\right.$$\displaystyle {\frac{1}{\bar z}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{\bar w}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{\bar z}+\frac{1}{\bar w}}\right)$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle {\frac{\bar z+\bar w}{\bar z\bar w}}$ = - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle {\frac{z}{\bar z}}$$\displaystyle {\frac{w}{\bar w}}$.

модуль этого числа равен $ {\frac{1}{2}}$.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 29
Название Аффинные преобразования
Тема Аффинная геометрия
параграф
Номер 3
Название Комплексные числа
Тема Связь величины угла с длиной дуги и хорды
задача
Номер 29.033

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .