Информация о задаче

Задача 58406

Тема:

[

Связь величины угла с длиной дуги и хорды

]

Сложность: 7
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Точки Z и W изогонально сопряжены относительно правильного треугольника ABC с центром O; M — середина отрезка ZW. Докажите, что $\angle$ AOZ + $\angle$ AOW + $\angle$ AOM = n $\pi$ (углы ориентированы).

Решение

Расположим данный треугольник так, чтобы центр описанной окружности оказался в нуле, а точка A — в единице. Пусть z и w — комплексные числа, соответствующие точкам Z и W. Повороты плоскости вокруг нуля на указанные углы соответствуют умножению на комплексные числа z/ $\bar{z}$ , w/ $\bar{w}$ и (z + w)/( $\bar{z}$ + $\bar{w}$ ). Но согласно задаче 29.32.1 z + w = - $\bar{z}$ $\bar{w}$ , значит, произведение этих трех комплексных чисел равно 1.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	29
Название	Аффинные преобразования
Тема	Аффинная геометрия
параграф
Номер	3
Название	Комплексные числа
Тема	Связь величины угла с длиной дуги и хорды
задача
Номер	29.034