Условие
Точки
Z и
W изогонально сопряжены относительно правильного треугольника
ABC с центром
O;
M — середина отрезка
ZW. Докажите, что
AOZ +
AOW +
AOM =
n
(углы ориентированы).
Решение
Расположим данный треугольник так, чтобы центр описанной окружности оказался в
нуле, а точка
A — в единице. Пусть
z и
w — комплексные числа,
соответствующие точкам
Z и
W. Повороты плоскости вокруг нуля на указанные
углы соответствуют умножению на комплексные числа
z/
,
w/
и
(
z +
w)/(
+
). Но согласно задаче
29.32.1
z +
w = -
,
значит, произведение этих трех комплексных чисел равно 1.
Источники и прецеденты использования
