Задача 58415

Тема:    [ Проективные преобразования прямой ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что преобразование P числовой прямой является проективным тогда и только тогда, когда оно представляется в виде

P(x) = ,

где a, b, c, d — такие числа, что ad - bc 0. (Такие отображения называют дробно-линейными.)

Решение

Во-первых, покажем, что дробно-линейное преобразование

P(x) = ,    ad - bc0,

сохраняет двойное отношение. Действительно, пусть x₁, x₂, x₃, x₄ — произвольные числа и  y_i = P(x_i). Тогда

y_i - y_j = - = ;

следовательно, (y₁y₂y₃y₄) = (x₁x₂x₃x₄).
В решении задачи 30.4 фактически было доказано, что если преобразование прямой сохраняет двойное отношение, то оно однозначно задается образами произвольных трех различных точек. Согласно задаче 30.2, б) проективные преобразования сохраняют двойное отношение. Остается доказать, что для любых попарно различных точек x₁, x₂, x₃ и попарно различных точек y₁, y₂, y₃ найдется дробно-линейное преобразование P, для которого P(x_i) = y_i. Для этого, в свою очередь, достаточно доказать, что для любых трех различных точек найдется дробно-линейное преобразование, переводящее их в три фиксированные точки z₁ = 0, z₂ = 1, z₃ = . Действительно, если P₁ и P₂ — дробно-линейные преобразования такие, что P₁(x_i) = z_i и  P₂(y_i) = z_i, то P₂^-1(P₁(x_i)) = y_i. (Преобразование, обратное дробно-линейному, является дробно-линейным, так как если y = (ax + b)/(cx + d ), то x = (dy - b)/(- cy + a); то, что композиция дробно-линейных преобразований дробно-линейна, проверьте самостоятельно.)
Итак, нам надо доказать, что если x₁, x₂, x₃ — произвольные различные числа, то найдутся такие числа a, b, c, d, что ad - bc 0 и

ax1 + b	= 0,
ax2 + b	= cx2 + d,
cx3 + d	= 0.

Найдя из первого и третьего уравнений b и d и подставив во второе, получаем уравнение

a(x₂ - x₁) = c(x₂ - x₃),

из которого находим решение a = (x₂ - x₃), b = x₁(x₃ - x₂), c = (x₂ - x₁), d = x₃(x₁ - x₂). При этом ad - bc = (x₁ - x₂)(x₂ - x₃)(x₃ - x₁) 0.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	30
Название	Проективные преобразования
Тема	Проективная геометрия
параграф
Номер	1
Название	Проективные преобразования прямой
Тема	Проективные преобразования прямой
задача
Номер	30.007