Условие
Даны две параллельные прямые a, b и точка O.
Тогда для каждой точки M можно выполнить следующее
построение. Проведем через M произвольную прямую l, не
проходящую через O и пересекающую прямые a и b. Точки
пересечения обозначим соответственно через A и B, и пусть M' — точка пересечения прямой OM с прямой, параллельной
OB и проходящей через A.
а) Докажите, что точка M' не зависит от выбора прямой l.
б) Докажите, что преобразование плоскости, переводящее
точку M в точку M', является проективным.
Решение
а) Точка M' лежит на прямой OM, поэтому ее положение
однозначно определяется отношением MO : OM'. Но в силу
того, что треугольники MBO и MAM' подобны,
MO : OM' = MB : BA, а последнее отношение не зависит от выбора прямой l
по теореме Фалеса.
б)
Первое решение.
Если данное преобразование (обозначим его P) доопределить в точке O, положив P(O) = O, то, как легко проверить, P задает
взаимно однозначное преобразование множества всех конечных и бесконечных точек плоскости (чтобы по точке M' построить точку M,
надо взять на a произвольную точку A, провести прямые AM',
OB| AM' и AB). Ясно, что каждая прямая, проходящая через O,
переходит в себя. Каждая прямая l, не проходящая через O,
переходит в прямую, параллельную OB и проходящую через M.
Остается воспользоваться задачей 30.14, г).
Второе решение (набросок). Обозначим данную плоскость
через 
, и пусть
= R(), где R — некоторый поворот
пространства вокруг оси a. Обозначим R(O) через O', и пусть P — проектирование плоскости на плоскость
из точки пересечения прямой OO' с плоскостью, проходящей
через b параллельно . Тогда преобразование
R-1oP совпадает
(докажите самостоятельно) с преобразованием, о котором идет речь в формулировке задачи.
Источники и прецеденты использования
