Условие
а) Через точку P проводятся всевозможные секущие
окружности S. Найдите геометрическое место точек пересечения
касательных к окружности S, проведенных в двух точках
пересечения окружности с секущей.
б) Через точку P проводятся всевозможные пары секущих
AB и CD окружности S (A, B, C, D — точки
пересечения с окружностью). Найдите геометрическое место точек
пересечения прямых AC и BD.
Решение
Рассмотрим отдельно два случая.
1. Точка P лежит вне S. Сделаем проективное преобразование,
при котором окружность S перейдет в окружность, а точка P —
в бесконечно удаленную точку (см. задачу 30.17), т. е. образы всех
прямых, проходящих через P, будут друг другу параллельны. Тогда
в задаче б) образом искомого ГМТ является прямая l — их общий
перпендикуляр, проходящий через центр окружности, а в задаче а) —
прямая l, из которой выкинут диаметр окружности. (Для
доказательства нужно воспользоваться симметрией относительно
прямой l.) Следовательно, само искомое ГМТ для задачи б) есть
прямая, проходящая через точки касания S с касательными, проведенными
через точку P, а для задачи б) — лежащая вне S часть этой прямой.
2. Точка P лежит внутри S. Сделаем проективное преобразование,
при котором окружность S перейдет в окружность, а точка P —
в ее центр (см. задачу 30.16, а)). Тогда в обеих задачах образом
искомого ГМТ является бесконечно удаленная прямая. Следовательно,
само искомое ГМТ есть прямая.
Полученная прямая в обоих случаях совпадает с полярой точки P
относительно S (см. задачу 30.19).
Источники и прецеденты использования
