Условие
Даны окружность
S, прямая
l, точка
M, лежащая
на
S и не лежащая на
l, и точка
O, не лежащая на
S.
Рассмотрим преобразование
P прямой
l, являющееся композицией
проектирования
l на
S из
M,
S на себя из
O и
S на
l
из
M, т. е.
P(
A) — пересечение прямых
l и
MC,
где
C — отличная от
B точка пересечения
S с прямой
OB,
а
B — отличная от
A точка пересечения
S с прямой
MA.
Докажите, что преобразование
P проективно.
Решение
Обозначим через
m прямую, являющуюся искомым
геометрическим местом точек в задаче
30.38, б), а через
N --
отличную от
M точку пересечения
S с прямой
OM. Обозначим
через
Q композицию проецирований
l на
S из
M и
S на
m из
N.
Согласно задаче
30.9 это отображение является проективным. Докажем,
что
P есть композиция
Q с проецированием
m на
l из
M.
Пусть
A — произвольная точка на
l,
B — ее проекция на
S
из
M,
C — проекция
B на
S из
O,
D — пересечение
прямых
BN и
CM. Согласно задаче
30.38, б) точка
D лежит на прямой
m,
т. е.
D =
Q(
A). Ясно, что
P(
A) — это проекция
D на
l из
M.
Источники и прецеденты использования
