Условие
Даны окружность S, прямая l, точка M, лежащая
на S и не лежащая на l, и точка O, не лежащая на S.
Рассмотрим преобразование P прямой l, являющееся композицией
проектирования l на S из M, S на себя из O и S на l
из M, т. е. P(A) — пересечение прямых l и MC,
где C — отличная от B точка пересечения S с прямой OB,
а B — отличная от A точка пересечения S с прямой MA.
Докажите, что преобразование P проективно.
Решение
Обозначим через m прямую, являющуюся искомым
геометрическим местом точек в задаче 30.38, б), а через N --
отличную от M точку пересечения S с прямой OM. Обозначим
через Q композицию проецирований l на S из M и S на m из N.
Согласно задаче 30.9 это отображение является проективным. Докажем,
что P есть композиция Q с проецированием m на l из M.
Пусть A — произвольная точка на l, B — ее проекция на S
из M, C — проекция B на S из O, D — пересечение
прямых BN и CM. Согласно задаче 30.38, б) точка D лежит на прямой m,
т. е. D = Q(A). Ясно, что P(A) — это проекция D на l из M.
Источники и прецеденты использования
