Задача 58464

Тема:    [ Применение проективных преобразований прямой в задачах на построение ]

Сложность: 6+ Классы: 10,11

Условие

а) Даны прямая l и точка P вне ее. Циркулем и линейкой постройте на l отрезок XY данной длины, который виден из P под данным углом .
б) Даны две прямые l₁ и l₂ и точки P и Q, не лежащие на этих прямых. Циркулем и линейкой постройте на прямой l₁ точку X и на прямой l₂ точку Y так, что отрезок XY виден из точки P под данным углом , а из точки Q — под данным углом .

Решение

а) Проведем произвольную окружность S через точку P. Согласно задаче 30.10 композиция проецирования l на S из P, поворота вокруг центра окружности S на угол 2 и проецирования S на l из P является проективным преобразованием прямой l. Тогда (по теореме о вписанном угле) искомой точкой является неподвижная точка композиции этого преобразования и сдвига вдоль прямой CD на данное расстояние XY. Неподвижная точка проективного преобразования строится в задаче 30.52.
б) Проведем произвольные окружности S₁ и S₂ через точки P и Q соответственно. Рассмотрим композицию проецирования l₁ на S₁ из P, поворота вокруг центра окружности S₁ на угол 2 и проецирования S₁ на l₂ из P. Согласно задаче 30.10 это отображение является проективным. Аналогично, проективным отображением является композиция проецирования l₂ на S₂ из Q, поворота вокруг центра окружности S₂ на угол 2 и проецирования S₂ на l₁ из Q. По теореме о вписанном угле искомой точкой X является неподвижная точка композиции этих отображений, и для ее построения можно воспользоваться задачей 30.52.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	30
Название	Проективные преобразования
Тема	Проективная геометрия
параграф
Номер	6
Название	Применение проективных преобразований прямой в задачах на построение
Тема	Применение проективных преобразований прямой в задачах на построение
задача
Номер	30.057