|
|
 |
Условие
а) Даны прямая l и точка P вне ее. Циркулем
и линейкой постройте на l отрезок XY данной длины,
который виден из P под данным углом .
б) Даны две прямые l1 и l2 и точки P и Q, не лежащие
на этих прямых. Циркулем и линейкой постройте на прямой l1
точку X и на прямой l2 точку Y так, что отрезок XY
виден из точки P под данным углом , а из точки Q —
под данным углом
.
Решение
а) Проведем произвольную окружность S через точку P.
Согласно задаче 30.10 композиция проецирования l на S из P,
поворота вокруг центра окружности S на угол 2 и проецирования S
на l из P является проективным преобразованием прямой l.
Тогда (по теореме о вписанном угле) искомой точкой является
неподвижная точка композиции этого преобразования и сдвига вдоль
прямой CD на данное расстояние XY. Неподвижная точка проективного
преобразования строится в задаче 30.52.
б) Проведем произвольные окружности S1 и S2 через точки P
и Q соответственно. Рассмотрим композицию проецирования l1
на S1 из P, поворота вокруг центра окружности S1 на угол 2
и проецирования S1 на l2 из P. Согласно задаче 30.10 это
отображение является проективным. Аналогично, проективным отображением
является композиция проецирования l2 на S2 из Q, поворота вокруг
центра окружности S2 на угол 2
и проецирования S2 на l1
из Q. По теореме о вписанном угле искомой точкой X является
неподвижная точка композиции этих отображений, и для ее построения
можно воспользоваться задачей 30.52.
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Прасолов В.В. |
| Год издания | 2001 |
| Название | Задачи по планиметрии |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 4* |
| глава | |
| Номер | 30 |
| Название | Проективные преобразования |
| Тема | Проективная геометрия |
| параграф | |
| Номер | 6 |
| Название | Применение проективных преобразований прямой в задачах на построение |
| Тема | Применение проективных преобразований прямой в задачах на построение |
| задача | |
| Номер | 30.057 |
