Условие
Даны окружность, прямая и точки A, A', B, B', C, C', M,
лежащие на этой прямой. Согласно задачам 30.1
и 30.3 существует единственное проективное преобразование
данной прямой на себя, отображающее точки A, B, C соответственно
в A', B', C'. Обозначим это преобразование через P.
Постройте при помощи одной линейки а) точку P(M);
б) неподвижные точки отображения P (задача Штейнера).
Решение
Обозначим данные прямую и окружность через l и S соответственно.
Пусть O — произвольная точка данной окружности, и пусть A1,
A1', B1, B1', C1, C1' — образы точек A, A',
B, B', C, C' при проецировании прямой l на окружность S
из точки O, т. е. A1 (соответственно A1',
B1,...) — отличная от O точка пересечения прямой AO
(соответственно A'O, BO,...) с окружностью S. Обозначим
через B2 точку пересечения прямых A1'B1 и A1B1', а через C2 — точку пересечения прямых A1'C1 и A1C1'.
Пусть P1 — композиция проецирований прямой l на окружность S
из точки O, а затем окружности S на прямую B2C2 из точки A1';
P2 — композиция проецирований B2C2 на S из точки A1,
а затем S на l из точки O. Тогда согласно задаче 30.9
преобразования P1 и P2 являются проективными, причем их
композиция точки A, B, C отображает соответственно
в A', B', C'.
Ясно, что все рассмотренные точки можно построить при
помощи одной линейки (в том порядке, в котором они вводились).
а) Пусть M1 — отличная от O точка пересечения прямой MO
с окружностью S;
M2 = P1(M) — точка пересечения прямых A1'M1
и B2C2; M3 — отличная от A1 точка пересечения
прямой M2A1 с окружностью S;
P(M) = P2(P1(M)) — точка
пересечения прямых l и OM3.
б) Пусть M1 и N1 — точки пересечения окружности S с прямой
B2C2. Тогда неподвижные точки преобразования P — это точки
пересечения прямых OM1 и ON1 с прямой l.
Источники и прецеденты использования
