Версия для печати
Убрать все задачи

---

Внутри выпуклого четырехугольника ABCD построены равнобедренные прямоугольные треугольники ABO₁, BCO₂, CDO₃ и DAO₄. Докажите, что если O₁ = O₃, то O₂ = O₄.

   Решение

---

На плоскости взяты шесть точек A₁, A₂, B₁, B₂, C₁, C₂. Докажите, что если окружности, описанные около треугольников A₁B₁C₁, A₁B₂C₂, A₂B₁C₂, A₂B₂C₁, проходят через одну точку, то и окружности, описанные около треугольников A₂B₂C₂, A₂B₁C₁, A₁B₂C₁, A₁B₁C₂, проходят через одну точку.

   Решение

---

Пусть точки A, B, C и D лежат на конике, заданной уравнением второй степени f = 0. Докажите, что

где и  — некоторые числа.

   Решение

Тема:    [ Кривые второго порядка ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Пусть точки A, B, C и D лежат на конике, заданной уравнением второй степени f = 0. Докажите, что

где и  — некоторые числа.

Решение

Первое решение. Пусть X — точка данной окружности, отличная от точек A, B, C и D. Выберем числа и так, что

и рассмотрим кривую, заданную уравнением f₁ = 0, где f₁ = l_ABl_CD + l_BCl_AD. Эта кривая задается уравнением второй степени и проходит через точки A, B, C, D и X. Но если кривая второй степени пересекает окружность в пяти различных точках, то эта кривая совпадает с окружностью, а значит, f = f₁, где  — некоторое число.

Второе решение. Введем косоугольную систему координат с осями AB и AD. Тогда прямые AB и AD задаются уравнениями y = 0 и x = 0 соответственно, а уравнение f = 0, задающее окружность, является уравнением второй степени относительно x и y.
Ограничения функций f и l_ABl_CD + l_BCl_AD = yl_CD + xl_BC на любую из осей координат являются квадратными трехчленами с двумя общими корнями (A и B, или A и D). Поэтому числа и можно подобрать так, что многочлен

обращается в нуль как при x = 0, так и при y = 0. Это означает, что он делится на xy, т. е. P(x, y) = qxy, где q — константа. В точке C многочлен P обращается в нуль, а xy 0. Поэтому q = 0, т. е.

Источники и прецеденты использования