Выбрано 4 задачи 
Убрать все задачи
Существует ли такой выпуклый пятиугольник, от которого некоторая прямая отрезает подобный ему пятиугольник?
Число x таково, что число
x + — целое. Докажите, что при любом натуральном n
число
xn +
также является целым.
Найдите длину кратчайшего пути по поверхности единичного правильного тетраэдра между серединами его противоположных рёбер.
Пусть a0, a1, ..., an, ... – периодическая последовательность, то есть для некоторого натурального T an+T = an (n ≥ 0). Докажите, что
а) среди всех периодов этой последовательности существует период наименьшей длины t;
б) T делится на t.
|
|
 |
Условие
Пусть a0, a1, ..., an, ... – периодическая последовательность, то есть для некоторого натурального T an+T = an (n ≥ 0). Докажите, что
а) среди всех периодов этой последовательности существует период наименьшей длины t;
б) T делится на t.
Решение
а) В любом множестве натуральных чисел есть наименьший элемент.
б) Пусть t – наименьший период и T = tq + r, где 0 < r < t. Тогда an+r = an+T–tq = an+T = an для любого n, то есть r – тоже период. Противоречие.
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Алфутова Н.Б., Устинов А.В. |
| Год издания | 2002 |
| Название | Алгебра и теория чисел |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 1 |
| глава | |
| Номер | 1 |
| Название | Метод математической индукции |
| Тема | Индукция |
| параграф | |
| Номер | 1 |
| Название | Аксиома индукции |
| Тема | Индукция (прочее) |
| задача | |
| Номер | 01.003 |
