Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Выбрано 6 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Четырехугольник ABCD выпуклый; точки  A1, B1, C1 и D1 таковы, что  AB||C1D1, AC||B1D1 и т. д. для всех пар вершин. Докажите, что четырехугольник  A1B1C1D1 тоже выпуклый, причем  $ \angle$A + $ \angle$C1 = 180o.

Вниз   Решение


Докажите неравенство для натуральных  n > 1:  

ВверхВниз   Решение


Пусть  fn = 22n + 1.  Докажите, что  fn  делит  2fn – 2.

ВверхВниз   Решение


В каждой клетке доски 11 × 11 стоит шашка. За ход разрешается снять с доски любое количество подряд идущих шашек либо из одного вертикального, либо из одного горизонтального ряда. Выигрывает снявший последнюю шашку.

ВверхВниз   Решение


Имеются две кучки камней: в одной - 30, в другой - 20. За ход разрешается брать любое количество камней, но только из одной кучки. Проигрывает тот, кому нечего брать.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что для любого натурального n  23n + 1  делится на 3n+1.

Вверх   Решение

Задача 60297
Темы:    [ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
Из корзины
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что для любого натурального n  23n + 1  делится на 3n+1.


Решение

23n + 1 = (2 + 1)(22 – 2 + 1)(26 – 23 + 1)...(22·3n–1 – 23n–1 + 1).  Выражение в каждой скобке делится на 3, поскольку при нечётном k
22k – 2k + 1 ≡ (–1)2k – (–1)k + 1 = 3 (mod 3).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 1
Название Метод математической индукции
Тема Индукция
параграф
Номер 2
Название Тождества, неравенства и делимость
Тема Индукция (прочее)
задача
Номер 01.024

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .