Задача 60445

Темы:    [ Формула включения-исключения ] [ Принцип Дирихле (площадь и объем) ] [ Сочетания и размещения ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

В прямоугольнике площади 1 расположено пять фигур площади ½ каждая. Докажите, что найдутся
  а) две фигуры, площадь общей части которых не меньше ³/₂₀;
  б) две фигуры, площадь общей части которых не меньше ⅕;
  в) три фигуры, площадь общей части которых не меньше ¹/₂₀.

Решение

  Мы будем пользоваться обозначениями задачи 58106.

  а) Согласно задаче 58106 б)  1 ≥ 5·0,5 – M₂,  то есть  M₂ ≥ 1,5.  M₂ – сумма 10 площадей попарных пересечений пяти фигур, значит, площадь наибольшего из этих пересечений на меньше 0,15.
  Замечание. Можно получить эту же оценку, рассуждая аналогично решению 2 задачи 58107 б).

  б) Согласно задаче 58106 а)  S = M₁ – M₂ + M₃ – M₄ + M₅.       (*)
  Применив ту же формулу включения-исключения к первой фигуре, получим  S₁ = ∑ S_1i – ∑ S_1ij + ∑ S_1ijk – S₁₂₃₄₅.
  Сложив пять подобных равенств для пяти фигур, получим  M₁ = 2M₂ – 3M₃ + 4M₄ – 5M₅.       (**)
  Прибавив утроенное равенство (*), получим  3S = 2M₁ – M₂ + M₄ – 2M₅ ≥ 2M₁ – M₂   (M₄ ≥ 5M₅ ≥ 2M₅,  поскольку  S_ijkl ≥ S₁₂₃₄₅ = M₅  для каждой из пяти площадей вида S_ijkl).
  Отсюда  M₂ ≥ 2M₁ – 3M = 5 – 3 = 2.  Значит, площадь наибольшего из 10 попарных пересечений пяти фигур не меньше  2 : 10 = 0,2.

  в) Заменив формулу включения-исключения на неравенство из задачи 50106 б) (для  m = 2),  мы вместо (**) получим неравенство  M₁ ≥ 2M₂ – 3M₃,  откуда
3M₃ ≥ 2M₂ – M₁ ≥ 2·2 – 2,5 = 1,5.  Значит, площадь наибольшего из 10 "тройных" пересечений пяти фигур не меньше  0,5 : 10 = 0,05.

.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	21
Название	Принцип Дирихле
Тема	Принцип Дирихле
параграф
Номер	3
Название	Площадь
Тема	Принцип Дирихле (площадь и объем)
задача
Номер	21.029 (пункт б)
книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	2
Название	Комбинаторика
Тема	Комбинаторика
параграф
Номер	4
Название	Формула включений и исключений
Тема	Формула включения-исключения
задача
Номер	02.111