Найдите координаты вершин треугольника, стороны которого лежат на прямых 2x + y - 6 = 0, x - y + 4 = 0 и y + 1 = 0.

   Решение

Через точку X, лежащую внутри треугольника ABC, проведены три отрезка, антипараллельных его сторонам. Докажите, что эти отрезки равны тогда и только тогда, когда X — точка Лемуана.

   Решение

Даны точки A(0; - 2), B(- 2;1), C(0;0) и D(2; - 9). Укажите те из них, которые лежат на прямой 2x - 3y + 7 = 0.

   Решение

Улицы города расположены в трёх направлениях, так что все кварталы – равные между собой равносторонние треугольники. Правила уличного движения таковы, что через перекресток можно проехать либо прямо, либо повернув влево или вправо на 120° в ближайшую улицу. Поворачивать разрешается только на перекрёстках. Две машины выехали друг за другом из одной точки в одном направлении и едут с одинаковой скоростью, придерживаясь этих правил. Может ли случиться, что через некоторое время они на какой-то улице (не на перекрёстке) встретятся?

   Решение

p – простое число. Сколько существует способов раскрасить вершины правильного p-угольника в a цветов? (Раскраски, которые можно совместить поворотом, считаются одинаковыми.)

   Решение

Темы:    [ Малая теорема Ферма ] [ Комбинаторика орбит ] [ Правило произведения ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

p – простое число. Сколько существует способов раскрасить вершины правильного p-угольника в a цветов? (Раскраски, которые можно совместить поворотом, считаются одинаковыми.)

Решение

Забудем временно про совмещение раскрасок поворотами. Тогда p вершин можно раскрасить a^p способами (см. задачу 60348). Среди этих раскрасок есть a одноцветных. Каждая из оставшихся совмещается с p раскрасками (считая исходную). Поэтому различных неодноцветных раскрасок в p раз меньше:    .

Ответ

  способов.

Замечания

1. Из этого результата немедленно следует малая теорема Ферма (см. задачу 60736).

2. Подумайте, почему важна простота числа p.

Источники и прецеденты использования