Задача 60852

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Метод спуска ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10 Название задачи: Метод спуска.

Условие

Докажите, что уравнения
  а)  8x⁴ + 4y⁴ + 2z⁴ = t⁴;
  б)  x² + y² + z² = 2xyz;
  в)  x² + y² + z² + u² = 2xyzu;
  г)  3ⁿ = x² + y²
не имеют решений в натуральных числах.

Решение

  а) Пусть решения есть. Рассмотрим решение с наименьшим t. Заметим, что t чётно. Заменив t на 2s, получим  4x⁴ + 2y⁴ + z⁴ = 8s⁴.  Значит, и z чётно. После замены  z = 2w  получим  2x⁴ + y⁴ + 8w⁴ = 4s⁴,  то есть и y чётно,  y = 2v.  Поэтому  x⁴ + 8v⁴ + 4w⁴ = 2s⁴.  Наконец, заменив x на 2u, получим
8u⁴ + 4v⁴ + 2w⁴ = s⁴.  Итак, мы получили меньшее решение  (u, v, w, s),  что противоречит нашему выбору.

  б) Пусть  (x, y, z)  – ненулевое решение и 2ⁿ – максимальная степень двойки, на которую делятся все эти числа (возможно,  n = 0).  Тогда  x = 2ⁿu,  y = 2ⁿv,  z = 2n^w,  причём хотя бы одно из чисел u, v, w нечётно. Сократив обе части уравнения на 2²ⁿ, получим  u² + v² + w² = 2ⁿ⁺¹uvw.  Поскольку правая часть чётна, то в левой части ровно два нечётных слагаемых. Поэтому левая часть не делится на 4, а правая – делится. Противоречие.

  в) См. задачу 77885.

  г) Сократив x и y на максимальную возможную степень тройки, придём к уравнению  3^m = u² + v²,  где хотя бы одно из натуральных чисел u, v
не кратно 3. Если при этом  m = 0,  то левая часть меньше правой, а если  m > 0,  то получаем противоречие с задачей 108744.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	5
Название	Числа, дроби, системы счисления
Тема	Системы счисления
параграф
Номер	1
Название	Рациональные и иррациональные числа
Тема	Дроби
задача
Номер	05.014