В выпуклом четырёхугольнике семь из восьми отрезков, соединяющих вершины с серединами противоположных сторон, равны.
Докажите, что все восемь отрезков равны.

   Решение

На доску последовательно выписываются числа  a₁ = 1,  a₂, a₃, ... по следующим правилам: a_n+1 = a_n – 2,  если число  a_n – 2  – натуральное и еще не выписано на доску, в противном случае  a_n+1 = a_n + 3.  Докажите, что все квадраты натуральных чисел появятся в этой последовательности при прибавлении 3 к предыдущему числу.

   Решение

На основании AD трапеции ABCD взята точка  E так, что  AE = BC.  Отрезки CA и CE пересекают диагональ BD в точках O и P соответственно.
Докажите, что если  BO = PD,  то  AD² = BC² + AD·BC.

   Решение

Две окружности с центрами O₁ и O₂ пересекаются в точках A и B. Биссектриса угла O₁AO₂ повторно пересекает окружности в точках C и D.
Докажите, что центр O описанной окружности треугольника CBD равноудалён от точек O₁ и O₂.

   Решение

Назовём натуральные числа похожими, если они записываются с помощью одного и того же набора цифр (например, для набора цифр 1, 1, 2 похожими будут числа 112, 121, 211). Докажите, что существуют такие три похожих 1995-значных числа, в записи которых нет нулей, что сумма двух из них равна третьему.

   Решение

Сколько представлений допускает дробь    в виде суммы двух положительных дробей со знаменателями n и  n + 1?

   Решение

Пусть x₁, x₂ – корни уравнения  x² + px + q = 0.  Выразите через p и q следующие выражения:
а)     б)     в)     г)  

   Решение

Темы:    [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ] [ Симметрические многочлены ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Пусть x₁, x₂ – корни уравнения  x² + px + q = 0.  Выразите через p и q следующие выражения:
а)     б)     в)     г)  

Решение 1

а)   

б)   

в)   

г)     

Решение 2

а) Запишем уравнение в виде     Отсюда видно, что ¹/_x1 и ¹/_x2 – корни уравнения  qt² + pt + 1 = 0.  По формуле Виета их сумма равна  – ^p/_q.

б) Из исходного уравнения следует другое:  (x² + q)² = (px)².  Отсюда видно, что     – корни уравнения  t² + (2q – p²)t + q² = 0.
Согласно а)  

г)  x₁ + p  и  x² + p  – корни уравнения  (x – p)² + p(x – p) + q = 0,  то есть уравнения  x² – px + q = 0.  Согласно б)   

Ответ

а)  – ^p/_q;    в)  3pq – p³;   б), г)  

Источники и прецеденты использования