Задача 60935

Темы:    [ Квадратный трехчлен (прочее) ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Рассмотрим графики функций  y = x² + px + q,  которые пересекают оси координат в трёх различных точках.
Докажите, что все окружности, описанные около треугольников с вершинами в этих точках, имеют общую точку.

Решение

Парабола пересекает оси координат в точках  A(x₁, 0),  B(x₂, 0)  и  C(0, q)  (x₁ и x₂ – корни соответствующего уравнения). Расмотрим точки
O(0, 0)  и  D(0, 1).  Поскольку  OA·OB = |x₁x₂| = |q| = OC·OD,  то точки A, B, C, D лежат на одной окружности. Значит, все окружности, удовлетворяющие условию, проходят через точку D.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	6
Название	Многочлены
Тема	Многочлены
параграф
Номер	1
Название	Квадратный трехчлен
Тема	Неизвестная тема
задача
Номер	06.012