ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 60969
Темы:    [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ]
[ Теорема Безу. Разложение на множители ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите остаток от деления многочлена  P(x) = x81 + x27 + x9 + x³ + x  на
  a)  x – 1;
  б)  x² – 1.


Решение

  a)  P(1) = 5.

  б) Первый способ. Пусть  P(x) = (x² – 1)Q(x) + ax + b.  Подставив  x = –1,  получим  b – a = 0;  подставив  x = 1,  получим  a + b = 5.
Отсюда  b = 0,  a = 5.
  Второй способ.  P(x) = x(x80 + x26 + x8 + x² + 1).  При замене  t = x²  второй множитель превращается вногочлен  Q(t) = t40 + t13 + t4 + t + 1,  который при делении на  t – 1  даёт остаток  Q(1) = 5.  Значит, P(x) при делении на  x² – 1  даёт остаток x·5.


Ответ

a) 5;   б) 5x.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 6
Название Многочлены
Тема Многочлены
параграф
Номер 2
Название Алгоритм Евклида для многочленов и теорема Безу.
Тема Теорема Безу. Разложение на множители
задача
Номер 06.046

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .