Задача 60977

Тема:    [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Условие

Кубическое и квадратное уравнения с рациональными коэффициентами имеют общее решение.
Докажите, что у кубического уравнения есть рациональный корень.

Решение

  Пусть кубический многочлен P(x) и и квадратный трёхчлен Q(x) имеют общий корень x₀.
  Если P делится на Q без остатка, то есть  P(x) = Q(x)R(x),  то линейный многочлен R(x) имеет рациональные коэффициенты и, следовательно, рациональный корень. Этот корень будет и корнем P.
  Если же P делится на Q с остатком, то есть  P(x) = Q(x)R(x) + ax + b,  то a и b рациональны. Подставив  x = x₀,  получим, что  ax₀ + b = 0.  Значит, x₀ – рациональное число.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	6
Название	Многочлены
Тема	Многочлены
параграф
Номер	2
Название	Алгоритм Евклида для многочленов и теорема Безу.
Тема	Теорема Безу. Разложение на множители
задача
Номер	06.054