ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 60977
Тема:    [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Кубическое и квадратное уравнения с рациональными коэффициентами имеют общее решение.
Докажите, что у кубического уравнения есть рациональный корень.


Решение

  Пусть кубический многочлен P(x) и и квадратный трёхчлен Q(x) имеют общий корень x0.
  Если P делится на Q без остатка, то есть  P(x) = Q(x)R(x),  то линейный многочлен R(x) имеет рациональные коэффициенты и, следовательно, рациональный корень. Этот корень будет и корнем P.
  Если же P делится на Q с остатком, то есть  P(x) = Q(x)R(x) + ax + b,  то a и b рациональны. Подставив  x = x0,  получим, что  ax0 + b = 0.  Значит, x0 – рациональное число.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 6
Название Многочлены
Тема Многочлены
параграф
Номер 2
Название Алгоритм Евклида для многочленов и теорема Безу.
Тема Теорема Безу. Разложение на множители
задача
Номер 06.054

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .