Задача 60985

Темы:    [ Многочлены (прочее) ] [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11 Название задачи: Правило знаков Декарта.

Условие

Докажите, что количество положительных корней многочлена  f(x) = a_nxⁿ + ... + a₁x + a₀  не превосходит числа перемен знака в последовательности  a_n, ..., a₁, a₀.

Решение

  Обозначим через L(f) число перемен знака в последовательности коэффициентов ненулевого многочлена  f(x) (нулевые коэффициенты при этом отбрасываются).

  Лемма. Если  c > 0,  то  L((x – c)f(x)) > L(f).
  Доказательство. Индукция по степени  f. База  (deg f = 0)  очевидна.
  Шаг индукции. Можно считать, что старший коэффициент многочлена f положителен. Если все коэффициенты многочлена f неотрицательны, то утверждение выполнено:  L(f) = 0,  а  L((x – c)f(x)) > 0,  поскольку старший коэфффициент a_n многочлена  (x – c)f(x)  положителен, а младший – отрицателен.
  В противном случае выделим первую группу положительных коэффициентов многочлена  f:   f(x) = (a_nxⁿ + ... + a_kx^k) – g(x),  где все коэффициенты  a_n, ..., a_k  положительны, и старший коэффициент  b_m = – a_m  многочлена g тоже положителен  (m < k).  Тогда  L(f) = L(g) + 1.
  У многочлена  (x – c)f(x) = (a_nxⁿ⁺¹ + ... + d_kx^k+1) – (cx^k + (x – c)g(x))  в последовательности коэффициентов при степенях от xⁿ⁺¹ до x^k есть хотя бы одна перемена знака, а в последовательности коэффициентов при степенях от x^k до 0 по предположению индукции не менее
L(g) + 1  перемен знаков. Действительно, старший коэффициент многочлена  cx^k + (x – c)g(x)  равен либо c (при  k > m + 1),  либо  c + b_m  (при  k = m + 1),  то есть положителен, как и старший коэффициент b_m многочлена  (x – c)g(x).
  Отсюда  L((x – c)f(x)) ≥ 2 + L(g) > L(f).

  Вернемся к решению задачи. Пусть  с₁, …, с_k  – положительные корни многочлена  f. Тогда  f(x) = (x – c₁)…(x – c_k)h(x),  и по лемме
L(f) ≥ k + L(h) ≥ k.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	6
Название	Многочлены
Тема	Многочлены
параграф
Номер	2
Название	Алгоритм Евклида для многочленов и теорема Безу.
Тема	Теорема Безу. Разложение на множители
задача
Номер	06.062