ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61000
Темы:    [ Тождественные преобразования ]
[ Теорема Безу. Разложение на множители ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11
Название задачи: Схема Горнера.
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Значение многочлена  Pn(x) = anxn + an–1xn–1 + ... + a1x + a0    (an ≠ 0)  в точке  x = c  можно вычислить, используя ровно n умножений. Для этого нужно представить многочлен Pn(x) в виде  Pn(x) = (...(anx + an–1)x + ... + a1)x + a0.   Пусть  bn, bn–1, ..., b0  – это значения выражений, которые получаются в процессе вычисления Pn(c), то есть  bn = anbk = cbk+1 + ak  (k = n – 1, ..., 0).  Докажите, что при делении многочлена Pn(x) на  x – c  с остатком, у многочлена в частном коэффициенты будут совпадать с числами  bn–1, ..., b1,  а остатком будет число b0. Таким образом, будет справедливо равенство:
Pn(x) = (x – c)(bnxn–1 + ... + b2x + b1) + b0.


Решение

Последнее равенство после раскрытия скобок и приведения подобных сводится к системе соотношений  an = bn,  ak = bk – cbk+1,  которая эквивалентна приведенной в условии.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 6
Название Многочлены
Тема Многочлены
параграф
Номер 2
Название Алгоритм Евклида для многочленов и теорема Безу.
Тема Теорема Безу. Разложение на множители
задача
Номер 06.077

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .