Задача 61030

Темы:    [ Симметрические многочлены ] [ Теорема Виета ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Выразите через элементарные симметрические многочлены следующие выражения:
  а}  (x + y)(y + z)(x + z);
  б}  x³ + y³ + z³ – 3xyz;
  в}  x³ + y³;
  г)  (x² + y²)(y² + z²)(x² + z²);
  д)  
  е)  x⁴ + y⁴ + z⁴.

Решение

  а)    

  б) Согласно задаче 61005 г)    

  в) Первый способ.  
       Второй способ. Достаточно подставить  z = 0  в формулу пункта б).

  г) Согласно а)  (x² + y²)(y² + z²)(x² + z²) = (x² + y² + z²)(x²y² + x²z² + y²z²) – x²y²z² =
   

  е) Согласно д) и г)  x⁴ + y⁴ + z⁴ = (x² + y² + z²)² – 2(x²y² + x²z² + y²z²) =

Ответ

а)  σ₁σ₂ – σ₃.     б), в)       г)       д)       е)  

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	6
Название	Многочлены
Тема	Многочлены
параграф
Номер	5
Название	Теорема Виета
Тема	Неизвестная тема
задача
Номер	06.107