Задача 61034

Темы:    [ Симметрические многочлены ] [ Кубические многочлены ] [ Формулы сокращенного умножения (прочее) ] [ Методы решения задач с параметром ] [ Производная и экстремумы ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Найдите все значения параметра a, при которых корни x₁, x₂, x₃ многочлена  x³ – 6x² + ax + a  удовлетворяют равенству
(x₁ – 3)³ + (x₂ – 3)³ + (x₃ – 3)³ = 0.

Решение

  Согласно задаче 61030 б)

 

   

Это выражение равно нулю при  a = – 9.
  Однако многочлен  x³ – 6x² – 9x – 9  имеет только один действительный корень. Действительно, его производная  3x² – 12x – 9  имеет корни разного знака, то есть функция достигает локального максимума в некоторой точке  x₀ < 0.  Но трёхчлен  6x² + 9x + 9  корней не имеет, поэтому  x³ – 6x² – 9x – 9 < 0   при  x < 0.

Ответ

Таких a не существует.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	6
Название	Многочлены
Тема	Многочлены
параграф
Номер	5
Название	Теорема Виета
Тема	Неизвестная тема
задача
Номер	06.111