Задача 61035

Темы:    [ Симметрические многочлены ] [ Кубические многочлены ] [ Теорема Виета ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Постройте многочлен, корни которого равны квадратам корней многочлена  x³ + x² – 2x – 1.

Решение

  Пусть  f(x) = x³ + x² – 2x – 1.  Поскольку  f(–1) = 1,  а  f(0) = –1,  то f(x) имеет три действительных корня u, v, w.

  Первый способ. По теореме Виета  σ₁ = u + v + w = – 1,  σ₂ = uv + uw + vw = – 2,  σ₃ = uvw = 1.  Согласно решению задачи 61030

 

Поэтому искомый многочлен равен  x³ – 5x² + 6x – 1.

  Второй способ. Пусть  g(x) = (x – u²)(x – v²)(x – w²).  Тогда
    g(t²) = (t² – u²)(t² – v²)(t² – w²) = (t + u)(t + v)(t + w)(t – u)(t – v)(t – w) = – f(– t)f(t) =
        = (t³ – t² – 2t + 1)(t³ + t² – 2t – 1) = (t³ – 2t)² – (t² – 1)² = t²(t² – 2)² – (t² – 1)².
Значит,  g(x) = x(x – 2)² – (x – 1)² = x³ – 4x² + 4x – (x² – 2x + 1) = x³ – 5x² + 6x – 1.

Ответ

x³ – 5x² + 6x – 1.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	6
Название	Многочлены
Тема	Многочлены
параграф
Номер	5
Название	Теорема Виета
Тема	Неизвестная тема
задача
Номер	06.112