ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 61039
Условиеа) Известно, что x + y = u + v, x2 + y2 = u2 + v2. Докажите, что при любом натуральном n выполняется равенство xn + yn + zn = un + vn + tn. Подсказкаа) Пары чисел x, y и u, v являются парами корней одного и того же квадратного уравнения. Решениеб) Докажем, что тройки {x, y, z} и {u, v, t} совпадают. Для этого достаточно проверить, что они являются тройками корней одного и того же кубического многочлена, то есть (согласно обратной теореме Виета), что xy + yz + xz = uv + vt + ut и xyz = uvt. Но это следует из равенств 2(xy + yz + xz) = (x + y + z)2 – (x2 + y2 + z2) и 3xyz = (x3 + y3 + z3) – (x + y + z)((x2 + y2 + z2) – (xy + yz + xz))(см. задачу 61005 г). Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|