ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61039
Тема:    [ Теорема Виета ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) Известно, что  x + y = u + v,  x2 + y2 = u2 + v2.
Докажите, что при любом натуральном n выполняется равенство  xn + yn = un + vn.

б) Известно, что  x + y + z = u + v + t,  x2 + y2 + z2 = u2 + v2 + t2x3 + y3 + z3 = u3 + v3 + t3.
Докажите, что при любом натуральном n выполняется равенство  xn + yn + zn = un + vn + tn.


Подсказка

а) Пары чисел x, y и u, v являются парами корней одного и того же квадратного уравнения.
Таким образом, числа x, y совпадают с числами u, v с точностью до перестановки.


Решение

б) Докажем, что тройки  {x, y, z}  и  {u, v, t}  совпадают. Для этого достаточно проверить, что они являются тройками корней одного и того же кубического многочлена, то есть (согласно обратной теореме Виета), что  xy + yz + xz = uv + vt + ut  и  xyz = uvt.  Но это следует из равенств  2(xy + yz + xz) = (x + y + z)2 – (x2 + y2 + z2)  и  3xyz = (x3 + y3 + z3) – (x + y + z)((x2 + y2 + z2) – (xy + yz + xz))
(см. задачу 61005 г).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 6
Название Многочлены
Тема Многочлены
параграф
Номер 5
Название Теорема Виета
Тема Неизвестная тема
задача
Номер 06.116

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .