|
|
 |
Условие
а) Числа a, b, c являются тремя из четырёх корней многочлена x4 – ax3 – bx + c. Найдите все такие многочлены.
б) Числа a, b, c являются корнями многочлена x4 – ax3 – bx + c. Найдите все такие многочлены.
Решение
а) Пусть d – четвёртый корень многочлена. По теореме Виета
a + b + c + d = a, a(b + c + d) + bc + bd + cd = 0, a(bc + bd + cd) + bcd = b, abcd = c.
Из первого уравнения b + c + d = 0, тогда из второго получаем bc + bd + cd = 0, а из третьего – bcd = b. Рассмотрим три случая.
1) c = 0. Тогда b + d = 0, bd = 0. Отсюда b = d = 0, a – любое число.
2) b = 0. Тогда c + d = 0, cd = 0, то есть этот случай совпадает с предыдущим.
3) b ≠ 0, c ≠ 0. Тогда abd = 1, cd = 1, значит, bc + bd = – 1. Учитывая, что c + d = – b, получаем b2 = 1. Тогда c + d = ±: 1, cd = 1, а эта система решений не имеет.
б) Задача сводится к решению системы: a4 – a4 – ab + c = 0, b4 – ab3 – b2 + c = 0, c4 – ac3 – bc + c = 0.
Из первого уравнения ab = c. Рассмотрим три случая.
1) b = 0. Тогда c = 0, a – любое число.
2) b ≠ 0. Подставив во второе и третье уравнения ab вместо c и сократив на b, получим b3 – ab2 – b + a ⇔ (b2 – 1)(b – a) = 0 и
a4b3 – a4b2 – ab + a = 0 ⇔ a(a3b2 – 1)(b – 1) = 0.
2.1) b = 1. Тогда a = c. При этом все условия выполнены.
2.2) b = – 1. Тогда a = – c, a = 0 или 1. Получаем два решения: a = c = 0, b = –1 и a = 1, b = c = – 1.
2.3) b ≠ ± 1, a = b. Тогда a не равно ни 0, ни 1, значит, решений нет.
Ответ
а) x4 – ax3. б) x4 – ax3, x4 – ax3 – x + a, x4 – x3 + x – 1, x4 + x.
Замечания
1. Разумеется, а) можно решать и по схеме б), отбрасывая лишние ответы.
2. В источнике формулировка соответствует п. а), а ответ – п. б).
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Алфутова Н.Б., Устинов А.В. |
| Год издания | 2002 |
| Название | Алгебра и теория чисел |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 1 |
| глава | |
| Номер | 6 |
| Название | Многочлены |
| Тема | Многочлены |
| параграф | |
| Номер | 5 |
| Название | Теорема Виета |
| Тема | Неизвестная тема |
| задача | |
| Номер | 06.118 |
