Задача 61058

Темы:    [ Квадратный трехчлен (прочее) ] [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

На плоскости расположено 100 точек. Известно, что через каждые четыре из них проходит график некоторого квадратного трёхчлена. Докажите, что все 100 точек лежат на графике одного квадратного трёхчлена.

Решение

Очевидно, абсциссы всех точек различны. Рассмотрим трёхчлен f, график которого проходит через четыре из наших точек A, B, C и D. Докажем, что все остальные 96 точек тоже лежат на этом графике. Пусть E – любая из этих точек, а g – трёхчлен, на графике которого лежат точки A, B, C и E. Разность  f – g  имеет три корня, следовательно, она тождественно равна нулю. Это значит, что g совпадает с f, то есть E лежит на графике f.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	6
Название	Многочлены
Тема	Многочлены
параграф
Номер	6
Название	Интерполяционный многочлен Лагранжа
Тема	Многочлены (прочее)
задача
Номер	06.135