Задача 61101

Темы:    [ Многочлены Чебышева ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Докажите, что у многочлена 2T_n(^x/₂) старший коэффициент равен единице, а все остальные коэффициенты – целые числа.
Здесь T_n – многочлен Чебышёва, смотри задачу 61099.

Подсказка

Найдите рекуррентное соотношение, которому удовлетворяют многочлены 2T_n(^x/₂).

Решение

  Пусть  f_n(x) = 2T_n(^x/₂).  Докажем наше утверждение по индукции, добавив, что  deg f_n = n.
  База. Согласно задаче 61099  f₁(x) = x,  f₂(x) = 4·^x4/₄ = x² – 2.
  Шаг индукции. Согласно задаче 61100  f_n+1(x) = 2T_n+1(^x/₂) = 2xT_n(^x/₂) – 2T_n–1(^x/₂) = xf_n(x) – f_n–1(x).  Теперь из предположения индукции следует, что
deg f_n+1 = n + 1,  все коэффициенты  f_n+1 – целые, а старший коэффициент  f_n+1 равен старшему коэффициенту  f_n, то есть 1.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	7
Название	Комплексные числа
Тема	Неизвестная тема
параграф
Номер	1
Название	Комплексная плоскость
Тема	Неизвестная тема
задача
Номер	07.037