Через вершины А и С треугольника АВС проведены прямые, перпендикулярные биссектрисе угла АВС. Они пересекают прямые СВ и ВА в точках К и М соответственно. Найдите длину АВ, если  ВМ = 8 см,  KC = 1 см  и  АВ > ВС.

   Решение

В окружность радиуса 10 вписан четырёхугольник, диагонали которого перпендикулярны и равны 12 и  10.  Найдите стороны четырёхугольника.

   Решение

Найдите все значения корней:
  a)  ;   б)  ;   в)  ;   г)  ;   д)  ;   е)  .

   Решение

Существует следующий способ проверить, делится ли данное число N на 19:
  1) отбрасываем последнюю цифру у числа N;
  2) прибавляем к полученному числу произведение отброшенной цифры на 2;
  3) с полученным числом проделываем операции 1) и 2) до тех пор, пока не останется число, меньшее или равное 19.
  4) если остается 19, то 19 делится на N, в противном случае N не делится на 19.
Докажите справедливость этого признака делимости.

   Решение

``65 = 64 = 63''. Тождество Кассини лежит в основе одного геометрического парадокса. Он заключается в том, что можно взять шахматную доску, разрезать ее на четыре части, как показано ниже, а затем составить из этих же частей прямоугольник:

Как расположить те же четыре части шахматной доски, чтобы доказать равенство ``64=63''?

   Решение

Пусть z₁, ..., z_n – отличные от нуля комплексные числа, лежащие в полуплоскости  α < arg z < α + π.  Докажите, что
  а)  z₁ + ... + z_n ≠ 0;
  б)  ¹/_z1 + ... + ¹/_zn ≠ 0.

   Решение

Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и проекции одного из катетов на гипотенузу.

   Решение

Найдите все числа вида 13xy45z,  которые делятяс на 792.

   Решение

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R. Его диагонали взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке P.
Найдите  AP² + BP² + CP² + DP²  и  AB² + BC² + CD² + AD².

   Решение

Докажите, что при любом натуральном n число  n² + 8n + 15  не делится на  n + 4.

   Решение

Известно, что  z + z^–1 = 2 cos α.
  а) Докажите, что  zⁿ + z^–n = 2 cos nα.
  б) Как выражается  zⁿ + z^–n  через  y = z + z^–1?

   Решение

Темы:    [ Тригонометрическая форма. Формула Муавра ] [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Известно, что  z + z^–1 = 2 cos α.
  а) Докажите, что  zⁿ + z^–n = 2 cos nα.
  б) Как выражается  zⁿ + z^–n  через  y = z + z^–1?

Подсказка

Перейдите в равенстве  z + z^–1 = 2 cos α   к сопряженным числам и вычислите z.

Решение

  а) Если  z + z^–1 = 2 cos α,  то и     Вычитая, получим     Значит, либо     то есть z – действительное число, либо  |z| = 1.  Первый случай возможен только при  z = ± 1  (иначе  |z + z^–1| > 2 ≥ 2 cos α).  Во втором случае  
то есть  Re z = cos α.  Отсюда  z = cos α ± i sin α,  и по формуле Муавра  zⁿ + z^–n = 2 cos nα.

  б)  zⁿ + z^–n = (cos α + i sin α)ⁿ + (cos α – i sin α)ⁿ =

=  

Ответ

б)  

Источники и прецеденты использования