Версия для печати
Убрать все задачи

---

Последовательность чисел {x_n} задана условиями:

Докажите, что последовательность {x_n} монотонна и ограничена. Найдите ее предел.

   Решение

---

На сторонах AB, BC, CD и DA выпуклого четырёхугольника ABCD взяты соответственно точки P, Q, R и Sб  O – точка пересечения отрезков PR и QS.
Докажите,что если  AP : AB = DR : DC  и  AS : AD = BQ : BC,  то и  SO : SQ = AP : AB,  PQ : PR = AS : ;AD.

   Решение

---

Докажите, что при любых целых a и натуральном n выражение  (a + 1)²ⁿ⁺¹ + aⁿ⁺²  делится на  a² + a + 1.

   Решение

Тема:    [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что при любых целых a и натуральном n выражение  (a + 1)²ⁿ⁺¹ + aⁿ⁺²  делится на  a² + a + 1.

Решение

Пусть  b = a² + a + 1.  Заметим, что  a + 1 ≡ – a² (mod b),  a³ ≡ 1 (mod b).  Поэтому
(a + 1)²ⁿ⁺¹ + aⁿ⁺² ≡ – a⁴ⁿ⁺² + aⁿ⁺² ≡ – aⁿ⁺² + aⁿ⁺² ≡ 0 (mod b),  что и требовалось.

Источники и прецеденты использования