Задача 61164

Темы:    [ Геометрические интерпретации в алгебре ] [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ] [ Векторы помогают решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Вычислите
  а)  cos ^π/₉ cos ^4π/₉ cos ^7π/₉;
  б)  cos ^π/₇ + cos ^3π/₇ + cos ^5π/₇.

Решение

  а) Способ 1.  cos ^π/₉ cos ^4π/₉ cos ^7π/₉ = ½ (cos ^3π/₉ + cos ^5π/₉) cos ^7π/₉ = ¼ (cos ^4π/₉ + cos ^10π/₉ + cos ^2π/₉ + cos ^12π/₉) = ¼ (cos ^4π/₉ + cos ^8π/₉ + cos ^2π/₉ + cos ^6π/₉).
Согласно задаче 55373 а) выражение в скобках равно –½.
  Способ 2.  8 sin ^π/₉ cos ^π/₉ cos ^4π/₉ cos ^7π/₉ = – 4 sin ^2π/₉ cos ^4π/₉ cos ^2π/₉ = – 2 sin ^4π/₉ cos ^4π/₉ = – sin ^8π/₉ = – sin ^π/₉,  откуда  cos ^π/₉ cos ^4π/₉ cos ^7π/₉ = – ¹/₈.

  б) См. задачу 55373 а).

Ответ

а) – ¹/₈;   б) ½.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	8
Название	Алгебра + геометрия
Тема	Неопределено
параграф
Номер	1
Название	Геометрия помогает алгебре
Тема	Неопределено
задача
Номер	08.003