Задача 61170

Темы:    [ Геометрические интерпретации в алгебре ] [ Многочлены (прочее) ] [ Формула Герона ] [ Неравенства для площади треугольника ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Пусть x, y, z – положительные числа и  xyz(x + y + z) = 1.  Найдите наименьшее значение выражения  (x + y)(x + z).

Подсказка

Сделайте замены  x = p – a,  y = p – b,  z = p – c.

Решение

Положим  a = y + z,  b = x + z,  c = x + y,  p = x + y + z.  Рассмотрим треугольник со сторонами a, b, c (неравенства треугольника, очевидно, выполнены). Периметр этого треугольника равен 2p, а площадь обозначим через S. По формуле Герона
S² = p(p – a)(p – b)(p – c) = (x + y + z)xyz = 1,  поэтому  (x + y)(x + z) = bc ≥ 2S = 2.  Равенство достигается для прямоугольного треугольника,

(например,     соответственно,  

Ответ

2.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	8
Название	Алгебра + геометрия
Тема	Неопределено
параграф
Номер	1
Название	Геометрия помогает алгебре
Тема	Неопределено
задача
Номер	08.009